First-Order ODE (3) - Linear ODE

6. Linear

 

$ f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y) $: Linear

 

$ y'+p(x)y=r(x) \left\{\begin{matrix}
r=0 (homo)\\ r\neq 0 (non-homo)
\end{matrix}\right. $

 

$ L=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}+p $

$ L(y)=r(x) $

$ L(\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\alpha y_{1}+\beta y_{2})+p(\alpha y_{1}+\beta y_{2})=\alpha y_{1}'+\beta y_{2}'+p\alpha y_{1}+p\beta y_{2} $

   $ =\alpha (y_{1}'+py_{1})+\beta (y_{2}'+py_{2})=\alpha L(y_{1})+\beta L(y_{2}) $: Linear

 

 

7. Linear ODE

 

$ y'+py=r $

$ \Rightarrow (py-r)dx+1dy=0 $

$ P=py-r, Q=1 $

$ R(x)=\frac{1}{Q}(P_{y}-Q_{x})=p(x) $

$ F(x)=e^{\int R(x) dx}=e^{\int p dx} $

 

$ e^{\int p dx}(py-r)+e^{\int p dx}y'=0 $

$ (e^{\int p dx}y)'=e^{\int p dx}r $

$ e^{\int p dx}y=\int e^{\int p dx}rdx+c $

$ e^{h}y=\int e^{h}r dx+c $ ($ \int p dx=h $)

$ \therefore y=e^{-h}(\int e^{h}r dx+c)=e^{-h}\int e^{h}r dx+ce^{-h} $

 

ex) $ y'+y=x^{2} $

$ p(x)=1, r(x)=x^{2} $

$ h=\int p dx=\int 1 dx=x \rightarrow e^{h}=e^{x} $

$ e^{x}(y'+y)=e^{x}x^{2} $

$ (e^{x}y)'=e^{x}x^{2} $

$ e^{x}y=(x^{2}-2x+2)e^{x}+c $

$ y=(x^{2}-2x+2)+ce^{-x} $

 

 

8. Reuction to Linear Form (Bernoulli Equation)

 

$ y'+p(x)y=q(x)y^{a} $: Bernoulli Equation

$ u=y^{1-a} $

$ u'=(1-a)y^{-a}y'=(1-a)y^{-a}(qy^{a}-py)=(1-a)(q-py^{1-a})=(1-a)(q-pu) $

$ u'+(1-a)pu=(1-a)q $