Vector Calculus (4) - Matrix Operation

8. Kind of Matrix

 

Matrix: set을 만들기(필요로 하는 물리량을 하나의 괄호 안에)

 

Square Matrix: n x n

Column Matrix: $\vec{X}=\bigl(\begin{smallmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{smallmatrix}\bigr)$

Row Matrix: $\vec{X}=\bigl(\begin{smallmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{smallmatrix}\bigr)$

 

 

9. Multiply Tow Matrices

 

$\vec{C}=\vec{A}\vec{B}$

$C_{ij}=[\vec{A}\vec{B}]_{ij}=\sum_{k}^{}A_{ik}B_{kj}$

number of columns of $\vec{A}$= number of rows of $\vec{B}$

(i rows and k columns) x (k rows and j columns) = (i rows and j columns)

 

일반적으로 $\vec{A}\vec{B}\neq \vec{B}\vec{A}$ 이다.

 

ex)

$\vec{A}\vec{B}=\bigl(\begin{smallmatrix} \alpha  & \beta  & \gamma \\  \delta  & \epsilon  & \zeta  \end{smallmatrix}\bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} \eta  & \theta  & \iota \\  \kappa  & \lambda  & \mu \\  \nu  & \xi  & o  \end{smallmatrix}\bigr)$

$\vec{C}=\vec{A}\vec{B}=\bigl(\begin{smallmatrix} \alpha \eta +\beta \kappa +\gamma \nu & \alpha \theta +\beta \lambda +\gamma \xi  & \alpha \iota +\beta \mu +\gamma o\\  \delta \eta +\epsilon \kappa +\zeta \nu & \delta \theta +\epsilon \lambda +\zeta \xi   & \delta  \iota +\epsilon \mu +\zeta o \end{smallmatrix}\bigr)$

 

ex) Coordinate Transformation

$x_{i}'=\sum_{j}^{}\lambda _{ij}x_{j}$

$\Rightarrow \vec{X}'=\vec{\lambda }\vec{x}$

$\bigl(\begin{smallmatrix} x_{1}'\\ x_{2}' \\ x_{3}' \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} \lambda _{11} & \lambda _{12} & \lambda _{13}\\  \lambda _{21} & \lambda _{22} & \lambda _{23}\\  \lambda _{31} & \lambda _{32} & \lambda _{33} \end{smallmatrix}\bigr) \bigl(\begin{smallmatrix} x_{1}\\ x_{2} \\ x_{3} \end{smallmatrix}\bigr)$

$x_{1}'=\lambda _{11}x_{1}+\lambda _{12}x_{2}+\lambda _{13}x_{3}$

$x_{2}'=\lambda _{21}x_{1}+\lambda _{22}x_{2}+\lambda _{23}x_{3}$

$x_{3}'=\lambda _{31}x_{1}+\lambda _{32}x_{2}+\lambda _{33}x_{3}$