Trigonometric Function (4) - 쌍곡함수

14. 쌍곡함수의 정의

 

$ sinhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}, coshx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, tanhx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} $

$ cschx=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}, sechx=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}, cothx=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} $

 

y=sinhx                                                     y=coshx                                                     y=tanhx

y=cschx                                                     y=sechx                                                     y=cothx

15. 쌍곡함수의 기본 공식, 덧셈정리

 

$ cosh^{2}x-sinh^{2}x=1 $

$ 1- tanh^{2}x=sech^{2}x $

 

$ sinh(\alpha +\beta )=sinh\alpha cosh\beta +cosh\alpha sinh\beta  $

$ cosh(\alpha +\beta )=cosh\alpha cosh\beta +sinh\alpha sinh\beta  $

$ tanh(\alpha +\beta )=\frac{tanh\alpha +tanh\beta }{1+tanh\alpha tanh\beta } $

 

16. 쌍곡함수의 배각공식, 반각공식

 

$ sinh2x=2sinhxcoshx $

$ cosh2x=cosh^{2}x+sinh^{2}x $

$ tanh2x=\frac{2tanhx}{1+tanh^{2}x} $

 

$ sinh^{2}\frac{x}{2}=\frac{-1+coshx}{2} $

$ cosh^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+coshx}{2} $

$ tanh^{2}\frac{x}{2}=\frac{-1+coshx}{1+coshx} $

 

17. 쌍곡함수의 미분

 

$ (sinhx)'=coshx, {cschx}'=-cschxcothx $

$ (coshx)'=sinhx, {sechx}'=-sechxtanhx $

$ (tanhx)'=sech^{2}x, {cothx}'=csch^{2}x $

 

18. 역쌍곡함수의 미분

 

$ (sinh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} (all-x), (csch^{-1}x)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}+1}} (x\neq 0) $

$ (cosh^{-1}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} (x>1), (sech^{-1}x)'=\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}} (0<x\leq 1) $

$ (tanh^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^{2}} (|x|<1), (coth^{-1}x)'=\frac{1}{1-x^{2}} (|x|>1) $