Approximation (1) - 멱급수, 테일러, 매클로린 급수

1. Taylor Series

 

f가 x=a에서 power series 전개식를 갖는다면

$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $

    $ =f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+... $

(x=a에서의 함수 f의 Taylor Series)

 

2. Maclaurin Series

 

f가 x=0에서 power series 전개식를 갖는다면

$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} $

    $ =f(0)+\frac{f'(a)}{1!}x+\frac{f''(a)}{2!}x^{2}+... $

(함수 f의 Maclaurin Series)

 

3. Important Maclaurin Series

 

$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+... (R=1) $

$ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+... (R=\infty) $

$ \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+... (R=\infty) $

$ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+... (R=\infty) $

$ \tan^{-1}x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+... (R=1) $

$ \ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+... (R=1) $

$ (1+x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}x^{n}=1+kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}+\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+... (R=1) $

($ \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)(k-2)...(k-n+1)}{n!} (n=1,2,...,k) $

 $ \binom{k}{0}=1 $)

(R: 수렴 반지름)

 

4. Approximation ($ x\simeq0 $)

 

$ \frac{1}{1-x}\simeq 1+x $

$ e^{x}\simeq 1+x $

$ \sin x\simeq x $

$ \cos x\simeq 1 $

$ \tan^{-1}x\simeq x $

$ \ln (1+x)\simeq x $

$ (1+x)^{k}\simeq 1+kx $

 

$ x^{2} $ 이상의 항을 모두 0으로 했는데, 얼마나 정확해야 하느냐에 따라 몇 차 이상의 항을 0으로 해야 하느냐가 달라진다.

 

y=1+x                                                       y=x                                                                  y=1